En février 2026, Lisa Sauermann, de l’Université de Bonn, et Pham Tuan Huy, de l’Université de Chicago, aussi cité sous le nom de Huy Tuan Pham, ont franchi l’obstacle principal de la conjecture de réarrangement de Graham pour tous les nombres premiers assez grands. C’est ce qu’ils annoncent dans le quatrième et dernier volet d’une série de quatre articles. La conjecture pose une question simple en apparence: peut-on réordonner un ensemble de nombres distincts et non nuls de façon que toutes les sommes partielles soient différentes?
Après 55 ans d’attente, le grand cas qui résistait encore dans la conjecture de réarrangement de Graham vient donc de céder. C’est le point central qui ressort de l’article publié en février 2026 par Lisa Sauermann et Pham Tuan Huy.
Reste une réserve pour les petits cas. Leur article de février 2026 ne prétend pas nécessairement régler jusqu’au dernier détail technique toutes les situations de petite taille. Mais, pour les spécialistes, l’essentiel n’est plus là. La percée qu’on attendait depuis des décennies touche bien au noyau du problème.
L’histoire commence en 1971. Cette année-là, Ronald Graham formule un problème facile à énoncer et beaucoup moins facile à démontrer. Dans un cadre d’arithmétique modulaire fini, la question est de savoir si l’on peut toujours réordonner un ensemble de nombres distincts et non nuls de sorte que toutes les sommes partielles soient différentes.
En pratique, on additionne le premier terme, puis les deux premiers, puis les trois premiers, et ainsi de suite. Le but est qu’aucune de ces sommes intermédiaires ne tombe sur une valeur déjà obtenue.
On travaille ici dans l’arithmétique dite « horloge ». Modulo 7, par exemple, 0, 7 et 14 reviennent au même.
La conjecture demande donc si, modulo un nombre premier p, n’importe quel ensemble de nombres distincts non nuls peut être mis dans un ordre qui évite les collisions entre sommes partielles. On peut le dire autrement: il faut trouver le bon ordre dans un univers où les valeurs reviennent à zéro une fois un certain seuil franchi.
C’est ce dosage très particulier entre une structure rigide et la liberté laissée au réarrangement qui a rendu le problème si coriace.
Fait plus inattendu, le problème est aussi devenu célèbre à cause d’une lecture en termes de jonglage. Ronald Graham n’était pas seulement un grand mathématicien. C’était aussi un jongleur accompli.
La conjecture se reformule alors de la façon suivante: si plusieurs balles ont des temps de vol différents, peut-on toujours choisir un ordre de lancement qui empêche deux balles de retomber au même instant? L’image dit très bien ce qui est en jeu: éviter des « atterrissages simultanés », autrement dit, dans le langage du problème, des collisions entre sommes partielles.
La percée récente s’appuie largement sur des méthodes probabilistes. D’après l’article de février 2026 de Lisa Sauermann et Pham Tuan Huy, la preuve mobilise des arguments aléatoires, des idées d’anticoncentration et des outils venus de l’analyse de Fourier. C’est aussi une bonne nouvelle pour la discipline elle-même, car la preuve ne résout pas seulement ce problème précis: elle montre comment des techniques modernes peuvent faire sauter des verrous sur de vieilles questions de combinatoire.
Autre aspect frappant, cette solution est présentée comme le résultat d’un effort très collectif, porté par une jeune génération de mathématiciens. Plusieurs contributions successives ont préparé le terrain avant l’article final de Lisa Sauermann et Pham Tuan Huy. Leur collaboration, indiquent-ils dans l’article de février 2026, aurait repris lors d’une conférence en Allemagne en septembre 2025.
Même si une version complètement générale, valable pour tous les nombres premiers, y compris les plus petits, peut encore demander quelques vérifications techniques, le cœur du problème est maintenant réglé, écrivent Lisa Sauermann et Pham Tuan Huy dans leur article de février 2026. Et ce n’est pas anodin: en combinatoire, ce genre d’avancée peut peser sur l’étude de structures très organisées, avec, à plus long terme, des effets possibles dans des domaines comme les fonctions de hachage ou les codes correcteurs d’erreurs.
