Un artículo publicado en febrero de 2026 por Lisa Sauermann, de la Universidad de Bonn, y Huy Tuan Pham, de la Universidad de Chicago, demuestra que la conjetura de reordenación de Graham se cumple para primos lo bastante grandes. La pregunta que plantea esa conjetura es sencilla de enunciar y nada sencilla de resolver: si se toma un conjunto de elementos no nulos en aritmética modular módulo un primo p, ¿puede reordenarse de manera que todas las sumas parciales salgan distintas?
El trabajo de Sauermann y Pham, que llega como cierre de una serie de cuatro artículos firmados por matemáticos jóvenes, resuelve al menos en su forma principal una pregunta que Ronald Graham había planteado en 1971.
La conjetura dice lo siguiente: dado un conjunto de elementos distintos de cero en aritmética modular módulo un primo p, habría que poder reordenarlos de modo que todas las sumas parciales sean diferentes. O, si se prefiere verlo de la manera más directa, al ir sumando los elementos uno a uno en ese nuevo orden, ninguno de los resultados intermedios debería repetirse.
Con enteros corrientes, esta condición puede manejarse en varios casos. Pero al pasar a módulo un primo, el problema se vuelve bastante más traicionero. Esa “aritmética de reloj”, que en apariencia simplifica las cosas, acaba convirtiendo una pregunta fácil de formular en un dolor de cabeza técnico.
Ronald Graham fue una figura central de las matemáticas discretas y, además, un malabarista consumado. De ahí salió una lectura especialmente visual del problema: si varias pelotas tienen tiempos de vuelo distintos, la cuestión pasa a ser si siempre existe un orden de lanzamiento en el que no caigan dos a la vez en el mismo pulso.
Ese enlace entre un juego físico y una estructura algebraica ayudó mucho a que la conjetura de reordenación de Graham circulara y se hiciera conocida. No por eso se volvió más fácil. Durante décadas aguantó intentos parciales y herramientas cada vez más finas.
La nueva demostración de Lisa Sauermann y Huy Tuan Pham se apoya en métodos probabilísticos. Los autores trabajaron con ideas de aleatoriedad, anticoncentración y análisis de Fourier para mostrar que ese orden tenía que existir, en vez de tratar de encontrarlo de forma directa.
Varios especialistas han llamado la atención tanto sobre la originalidad del enfoque como sobre el carácter colectivo de la solución. Noga Alon destacó la fuerza de los métodos probabilísticos en combinatoria, y otros investigadores señalaron que la estrategia final de Sauermann y Pham terminó siendo, de manera bastante inesperada, muy distinta de los planteamientos anteriores.
Incluso con esa cautela, el resultado está entre los importantes de verdad, porque cierra uno de esos problemas clásicos que van pasando de una generación a otra y, de paso, da más peso a técnicas que podrían encontrar aplicaciones en teoría de códigos y en el diseño de funciones hash.
Todavía no está claro si los casos de primos pequeños podrán resolverse pronto en el sentido más fuerte de “para todos los primos”, sin excepciones.
Author: Manuel Bosque
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